Родился 30 марта 1961 года в селе Лесное Уколово Красненского района Белгородской области. После окончания Лесноуколовской средней школы с 1976 г. по 1980 г. учился в Россошанском медицинском училище.
Свою трудовую деятельность начал в 1980 году фельдшером Лесноуколовского фельдшерско-акушерского пункта. В октябре 1980 года призван на службу в ряды Советской Армии.
С 1982 г. по 1992 г. — фельдшер скорой помощи Красненской центральной районной больницы. В 1992 году Алексей Иванович назначен директором Красненского филиала БГМСФ «Здоровье». С 1998 г. по 2001 г. — председатель правления акционерного общества «Лесное».
В 2001 году окончил Московский современный гуманитарный университет по специальности «экономист». В этом же году назначен на должность заместителя главы местного самоуправления Красненского района по социально-культурному развитию.
С 2004 года — первым заместителем главы местного самоуправления Красненского района по отраслевому развитию.
С декабря 2008 года Дыбов А.И. возглавлял администрацию Красненского района.
19 января 2012 года Дыбов А.И. назначен главой администрации муниципального района «Город Валуйки и Валуйский район».
В 2013 году получил второе высшее образование, закончив с отличием юридический факультет Белгородского Государственного университета.
В 2008 году награжден благодарностью Губернатора Белгородской области. Неоднократно награжден благодарностями первого заместителя Губернатора Белгородской области — руководителя аппарата Губернатора области О. Н. Полухина, благодарностями Всероссийской политической Партии «Единая Россия». За высокие трудовые достижения, большой вклад в социально-экономическое развитие Белгородской области в 2011 году награжден медалью «За заслуги перед Землей Белгородской» II степени. Награжден медалями Русской православной церкви «Святителя Иосафа, епископа Белгородского, чудотворца» II степени в 2011 году и I степени в 2012 году. Награжден отраслевой медалью «За большой вклад в реализацию молодежной политики в Белгородской области». Награжден медалью «За активную гражданскую позицию и патриотизм». За высокий профессионализм, активное участие в областном благотворительном марафоне «Белогорье-Крым» Дыбову А.И. выражена благодарность Губернатора Белгородской области. В 2015 году выражена благодарность Председателя Белгородской областной Думы V созыва. Присвоено почетное звание «Почетный работник общего образования Российской Федерации». Удостоин юбилейной медали Русской Православной Церкви «В память 1000-летия преставления равноапостольного великого князя ВЛАДИМИРА». Награжден знаком «За заслуги перед Всероссийским обществом слепых III степени». В 2016 году поощрен Благодарственным письмом Губернатора Белгородской области. Награжден медалью «Князь Дмитрий Донской», «XX лет Центральному казачьему войску». Награжден памятной медалью «Патриот России». В 2017 году награжден Почетной грамотой Президента Российской Федерации. Награжден Благодарственным письмом Управления социальной защиты населения Белгородской области. Награжден ведомственным знаком отличия Федеральной службы государственной статистики – медалью «За труды в проведении Всероссийской сельскохозяйственной переписи». Награжден орденом «За заслуги» III степени» ДОСААФ России. Награжден Почетной грамотой Президиума Совета Всероссийской общественной организации ветеранов (пенсионеров) войны, труда, Вооруженных сил и правоохранительных органов. Поощрен благодарностю Департамента агропромышленоого комплекса и воспроизводства окружающей среды Белгородской области. Награжден медалью «150 лет Западному военному округу». За достигнутые трудовые успехи, активную общественную деятельность и многолетнюю добросовестную работу 24 октября 2017 года награжден Почетной грамотой Президента РФ В.В. Путина. Выражена благодарность Губернатора Белгородской области за вклад в организацию и выполнение мероприятий областного проекта "Зеленая столица" на территтории Белгородской области. Удостоен Юбилейной медали и Грамоты Русской Православной Церкви "В память 100-летия восстановления Патриаршества в Русской Православной Церкви". За укрепление материально-технической базы, организацию работы по сохранению и пропаганде документального наследия, внимание к делам и проблемам архивной службы муниципального района "Город Валуйки и Валуйский район" Белгородской области выражена благодарность. 8 сентября 2018 года награжден медалью в ознаменование 100-летия Рабоче-Крестьянской Красной Армии и Рабоче-Крестьянского Красного Флота. Вынесена благодарность депутата Белгородской областной Думы VI созыва О.Н. Полухина за проведение активной и плодотворной работы по организации взаимодействия депутата с населением муниципального района "Город Валуйки и Валуйский район". 15 декабря 2018 года был награжден Митрополитом Белгородским и Старооскольским Иоанном медалью Русской Православной Церкви Святителя Иоасафа Епископа Белгородского, чудотворца II степени. В конце 2018 года был удостоен медали "За заслуги перед Землей Белгородской" I степени. За большой личный вклад в организацию военно-патриотического воспитания молодежи, качественную подготовку ее к службе в Вооруженных Силах Российской Федерации, выполнение установленной нормы призыва граждан на военную службу осенью 2018 года глава Валуйского городского округа награжден Грамотой от командующего войсками Западного военного округа генерала-полковника А. Журавлева. В 2019 году поощрён Благодарственным письмом Губернатора Белгородской области, в 2020 году выражена Благодарность департамента здравоохранения и социальной защиты населения Белгородской области за весомый вклад в борьбе с распространением новой короновирусной инфекции и высокий профессионализм, так же в 2020 году награжден нагрудным знаком "Отличник муниципальной службы в Белгородской области", Юбилейной медалью Священномученника Никодима, епископа Белгородского, в память 25-летия возрождения Белгородской епархии, Медалью "Преподобноисповедника Игнатия Валуйского 3 степени".
За наивысшие достижения в развитии экономики и социальной сферы размещен на областной Аллее Трудовой Славы.
Женат, имеет двоих дочерей.